Roger Penrose: "The Road to Reality. A Complete Guide to the Laws of the Universe"
(Schon mehrere Anläufe versucht. Mal schauen, wie weit ich diesmal.)
Lektüre-Notizen:
- "Preface":
- "I am an optimist in matters of conveying understanding." Das glaube ich gern. Ich werde seinen Optimismus mal auf die harte Probe des @plomlompom stellen!
- Der Graben zwischen denen, die etwas verstanden zu haben glauben, und denen, die es nicht zu verstehen glauben. Erstere nehmen vielleicht zu vieles an Prämissen als trivial an, was sie sich gar nicht mehr bewusst machen können; und es deshalb den Nicht-Verstehenden, die genau an diesen Prämissen scheitern, auch gar nicht zu erklären vermögen. So sind die Nicht-Verstehenden sich dann vielleicht manchem Problem des zu Verstehenden bewusster als die Verstehenden.
- Man kann Brüche so erklären oder so.
- Das Tolle an der Mathematik ist, dass sie nicht einfach nur eine kulturelle Erfindung ist, sondern eine, die bemerkenswerte Harmonie zu den Mustern der Natur vorweisen kann.
- Verschiedene Lektüre-Arten je nach Arbeitsaufwands-Interesse und Vorkenntnis-Grad werden empfohlen. Ich bin natürlich ein überambitionierter Laie und werde deshalb brav versuchen, alle Formeln durchzugehen, obwohl ich nichts verstehe!
- Penrose lässt durchschimmern, dass nicht alles, was er schreiben wird, unumkämpften Konsens des Fachs darstellt (hieraus dann auch ein Lesewert für Bereits-Experten); aber dass er den Nicht-Mainstream zumindest als solchen kennzeichnen wolle.
- "Acknowledgments":
- Penrose dankt Joan Baez und Freeman Dyson.
- "Notation":
- [unverständliche Klasse] wird so geschrieben, [andere unverständliche Klasse] so. Ich verstehe nix, aber ich nehm mal an, das muss ich an dieser Stelle auch nicht.
- "Prologue":
- Ein Ereignis, das vermutlich die Minoische Eruption sein soll, erfordert eine neue Weltlogik, die in tausend Jahren zur mathematisch-geometrischen Naturphilosophie des Pythagoras anwächst. Schöne Geschichts-Geschichte.
- (Aleks-Scholz-Lektüre-Notizen bis hierher: http://lesemaschine.de/index.html?nr=20071101182938 )
- "1: The Roots of Science":
- "1.1: The quest for the forces that shape the world":
- Zuerst habe der Mensch die Natur in Begriffen menschlicher Motivation zu verstehen versucht. Dann habe er begonnen, perfekte mathematisch-geometrische Muster in ihren Vorgängen zu erkennen.
- "1.2: Mathematical truth":
- Nettes Einlassen mit historischen Ungewissheiten und Geheimniskrämereien bezüglich der Pythagoräer.
- Pythagoras heiratete die Zahlen, als er herausfand, dass Verhältnisse derselben den Wohlklang von Musikinstrumenten bestimmten.
- Thales von Milet und die Pythagoräer erfanden, um Zahlenspielerei kritisch zu langfristig standhaltendem Wissen zu filtern, den mathematischen Beweis: die Herleitung von "Sätzen" aus "Axiomen" mittels "Logik". Scheint bis heute gute Ergebnisse zu produzieren.
- Postulate sind Axiome, die sich ihrer selbst nicht ganz so sicher sind.
- Die Zahlen-Sätze der Pythagoräer sind noch heute wasserdicht; die Geometrie-Sätze dagegen sind nur noch eingeschränkt gültig, da wir inzwischen Alternativ-Geometrien mit anderen Grundannahmen entwickelt haben.
- Plato behauptet die Wirklichkeit der mathematischen Formen in einer Parallel-Welt der Ideen; in unserer körperlichen Welt können die Dinge dieselben Formen nie erreichen, ihnen nur ähnlich werden.
- "1.3: Is Plato's mathematical world 'real'?":
- Platos Idee ist eine gute, denn sie gibt mathematischen Formen eine Gültigkeit und Prüfbarkeit über die Subjektive des einzelnen menschlichen Gehirns hinaus. Was auch immer die Wirklichkeit der Platonischen Ideen-Welt sein mag, sie ist ein gutes Bild für die Objektivität, Eigenständigkeit, Beständigkeit mathematischer Muster. Hier finden wir Sätze mit dem Anspruch, für jeden Fall, für jeden Kontext, für jede Zeit zu gelten und in sich schlüssig zu bleiben.
- Platonismus ist also die Ansicht, dass es solche objektiv gültigen mathematischen Muster, dass es objektive mathematische Wahrheiten gibt; dass es also Muster/Wahrheiten gibt, die nicht nur kulturelle/psychologische Subjektiven sind, die mal zutreffen oder mal nicht, je nachdem wen oder wann man fragt.
- Ob eine Idee oder ein Axiom oder ein Satz nun tatsächlich einen Platz in der Platonischen Ideen-Welt objektiver Gültigkeit hat, ist natürlich eine andere Frage. Für Penrose scheint ein guter Kandidat aber zum Beispiel das Mandelbrot-Fraktal zu sein: Ausgeschlossen, dass dieses das bloße Resultat einer menschlichen Subjektive sein könne. Hier entfaltet sich offenbar etwas, das eine Eigenlogik über die Eitelkeit physischer Gegenstände oder menschlicher Psychologie hinaus hat.
- "1.4: Three worlds and three deep mysteries":
- Penrose hat ein Modell, wie alles zusammenhängt: Die Platonische Welt mathematischer Gültigkeiten bestimmt die physische Welt; die physische Welt erzeugt die Geistige Welt, also unseren Verstand; unserer Verstand wiederum kann die platonischen mathematischen Gültigkeiten begreifen/erfassen. Also ein Zirkel der drei Welten, jede verweist auf die jeweils nächste. Wie allumfassend so ein Verweis die jeweils nächste Welt einfasst, da duldet Penrose Unentschiedenheit. Sehr vage bleibt er auch in der Vergleichbarkeit der Verweis-Formen untereinander: Der Verweis von der mathematischen zur physischen und von der physischen zur mentalen Welt scheint jeweils ein regelnd-kausaler zu sein; der von der mentalen zur mathematischen dagegen wird nicht explizit so dargestellt. Wäre die mathematische Welt auch ohne die mentale (es muss ja nicht die einzelne Subjektive, es kann ja auch ein Weltgeist oder sowas sein) da?
- Andeutender Verweis auf seine Mind-Upload-Fragestellungen, aber lies da bitte die anderen Bücher.
- "1.5: The Good, the True and the Beautiful":
- Plato ordnete seiner Ideen-Welt nicht nur das mathematisch Wahre, sondern auch das Schöne und das Gute zu. Das Schöne korreliert ganz gut mit der Mathematikerkultur, scheint ihr ein ganz hilfreicher Leitpfad, eine Heuristik, vielleicht sogar ein Omega-Point zu sein. Das Gute dagegen, Moral, naja, darüber können wir hier nicht sinnvoll reden.
- Sind die drei Welten -- die mathematische, physische und mentale -- vielleicht allesamt aus irgendeiner höheren Perspektive ein und dasselbe?
- (Aleks Scholz: http://lesemaschine.de/index.html?nr=20071102164049 )
- "2: An ancient theorem and a modern question":
- "2.1: The Pythagorean theorem":
- Geometrische Beweisführung für den Satz des Pythagoras. (Indem ich ganz sorgfältig und langsam lese und mir die Bilder beschaue, komme ich mit.) Dann sagt Penrose: Ja, schön und gut, diese Beweisführung setzt aber schon eine ganze Menge Prämissen voraus. Zum Beispiel, dass ein Quadrat überhaupt in unserer Geometrie möglich sei. Aus welchen Annahmen bauen wir ein Quadrat auf?
- "2.2: Euclid's postulates":
- Euklid definiert einen flachen Raum, in dem Punkte und Längen möglich sind. Er postuliert, dass:
- 1) es zwischen zwei verschiedenen Punkt stets genau eine gerade Länge/Linie gebe;
- 2) dass jede solche Gerade ins Unendliche verlängerbar sei;
- 3) dass jeder Punkt als Mittelpunkt für einen Kreis jedes beliebigen Radius dienen könne;
- 4) dass rechte Winkel überall gleich groß seien.
- 5) Das fünfte Postulat ist waghalsig und verdächtig komplex: Stelle dir zwei unendliche Geraden A und B vor, die eine dritte Gerade C schneiden; vor und hinter dem Schnitt entstehen so Winkel, je AC und BC. Ist die Summe von AC und BC vor dem Schnitt größer oder kleiner als die Summe von AC und BC gegenüber/hinter dem Schnitt? Dann, so das Postulat, werden A und B sich auch irgendwo schneiden, und zwar zu der Seite von C, wo die die Winkelsumme geringer war.
- Es gebe eine alternative Formulierung für das fünfte Postulat, die besagt: Gibt es eine Gerade A und einen Punkt außerhalb derselben, dann gibt es genau eine Gerade B durch besagten Punkt, die A nicht schneidet, sondern ihr parallel ist. Aufgabe: Diese alternative Formulierung aus Euklids fünftem Postulat herleiten. (Mein Ansatz wäre irgendwas in diese Richtung: Denke dir eine Gerade C, die A und B schneidet. Es gibt zu einer solchen Gerade C nur eine Gerade B, in der dank allumfassender Rechtwinkligkeit die Winkelsummen AC+BC diesseits und jenseits von C nicht unterschiedlich sind (was laut Euklids Postulat dazu führe, dass A und B einander schneiden). Es kann zu A also nur eine Parallele B durch besagten Punkt geben.)
- Zusammengefasst: Euklids zweidimensionaler Raum ist lückenfrei und bietet nach allen Richtungen ins Unendliche die gleiche Form; was sich hier hin und her verschiebt, behält seine Abstände brav bei, und Seitenverhältnisse und Winkel verändern sich auch nicht beim Verkleinern oder Vergrößern. Das fünfte Postulat / "Parallelen-Postulat" ermöglicht Quadrate und damit den Satz des Pythagoras.
- "2.3: Similar-areas proof of the Pythagorean theorem":
- Weiterer Beweis des Pythagoras-Satzes über das Parallelen-Postulat. Zuerst einfach, dann bei der Erläuterung / der Rückführung aufs Postulat bereitet er mir Kopfzerbrechen. Ich glaub, ich hab's nur so halb verstanden. Aber gut, Parallelen-Postulat -> Satz des Pythagoras, ich nicke.
- "2.4: Hyperbolic geometry: conformal picture":
- Und jetzt schalten wir das Parallelen-Postulat einfach mal aus und schauen uns eine Alternative an: Hallo, hyperbolischer Raum!
- Ohne Paralellen-Postulat verliert der Satz des Pythagoras seine Gültigkeit. In hyperbolischer Geometrie ist die Summe der Winkel in einem Dreieck stets unter Pi bzw. unter 180°, wobei die Abweichung proportional der Flächengröße des Dreiecks ist. So kann im hyperbolischen Raum aus den Winkeln eines Dreiecks seine Fläche berechnet werden; dieses coole Feature hat der euklidische Raum nicht!
- Die konformale oder Poincaré-Darstellung hyperbolischen Raums presst seine Unendlichkeit auf das Innere eines ebenen euklidischen Kreises zusammen, kurvt alle Geraden zu einem rechtwinkligen Auftreffen auf den Kreisrand und behält so Winkelgrößen bei. (Komplizierter Logarismus-Krams, um die Entfernung zweier Punkte aus dieser Darstellungsweise zu berechnen; ist mir zu hoch. Da auch die beiden Übungen auf diesen Formeln aufbauen, ignoriere ich sie einfach mal. Penrose entschuldigt sich auch.)
- "2.5: Other representations of hyperbolic geometry":
- Hyperbolische Geometrie kann auf mehrere Arten in einer euklidischen Geometrie abgebildet werden; keine davon hat einen Anspruch darauf, die richtige zu sein, denn in jedem Fall muss die Darstellung sich einer Raumstruktur anpassen, die eigentlich nicht die des Dargestellten ist.
- Hyperbol-Raum-Abbildungs-Ping-Pong bei Beltrami: Um mal Winkel, mal Geraden, mal Kreise zu bewahren, projiziere einen hyperbolischen Raum innerhalb einer Kugel hin und her zwischen der Ebene ihres Äquators, der Rundung ihrer Nordhalbkugel und einer Ausrichtung auf den Punkt ihres Südpols.
- Im hyperbolischen Raum gibt es kein Quadrat nach euklidischer Herleitung. Es gibt Vierecke mit vier identischen Innenwinkeln, aber die sind stets unter Pi/2 bzw. 90°; die Abweichung zum rechten Winkel ist umso größer, je größer das Viereck. (Also verhält es sich im Wesentlichen wie beim Dreieck: Innenwinkel-Summen einer Form liegen stets unter dem Wert, der ihnen in euklidischer Geometrie stabil wäre, Abweichungen umso stärker je mehr sich die Form ausbreitet?)
- Ich ignoriere die Übungen. Kein Plan.
- "2.6: Historical aspects of hyperbolic geometry":
- Die hyperbolische Geometrie wurde im Misserfolg entdeckt, einen Widerspruch aus dem Zusammenprall der ersten vier euklidischen Postulate mit einer Negation des fünften zu erzeugen. Verunfallte reductio ad absurdum. Plötzlich hatte man zwar keinen Widerspruch in der Hand, aber allerlei Merkwürdigkeiten, aus denen sich in sich schlüssige neue Geometrie spinnen ließ.
- "2.7: Relation to physical space":
- Das Parallelen-Postulat lässt sich nicht nur negieren in Richtung einer hyperbolischen Geometrie (die Geraden gehen sich aus dem Weg), sondern auch einer elliptischen (jede Gerade berührt jede Gerade). Man stelle sich das eine als eine Wölbung nach innen/außen vor; die Ellipse lässt sich vollständig auf einer Kugel abbilden und baut sich einen endlichen Raum, für die Hyberbowle gibt es keine vergleichbar prägnante Abbildung.
- Man streitet sich noch, ob der physikalische Raum / der Kosmos nun euklidianisch, elliptisch oder hyperbolisch gebaut sei. Auch eine nicht-euklidianische Geometrie würde sich aber den Sätzen der euklidianischen annähern, je kleiner man den untersuchten Bereich fasse; deshalb ist der Satz des Pythagoras durchaus noch nützlich.
- (Aleks Scholz: http://lesemaschine.de/index.html?nr=20071103130746 )
- "3: Kinds of number in the physical world":
- "3.1 A Pythagorean catastrophe?":
- Der Pythagoräer will seine Geometrie und seine Zahlen-Manie zusammenbringen. Er stellt dann aber fest, dass seine Geometrie sich nicht sauber in "rationale Zahlen" auflösen lässt, also in Konfigurationen (z.B. Brüchen) aus den tollen natürlichen Zahlen, die der Pythagoräer in all den Harmonien der Natur zu entdecken meint. D'oh!
- (Beispiel-Problem: Wie z aus x²+y²=z² (Satz des Pythagoras) als Zahlenwert berechnen? Mittels Wurzelung von z² natürlich. Wenn x und y jeweils 1 sind, ergibt x²+y²=2, z wäre also die Wurzel aus 2. Wäre z eine rationale Zahl, müsste sie als ein Bruch aus zwei natürliche Zahlen a und b darstellbar sein: "a/b=z" bzw. "(a/b)²=2" bzw. "a²/b²=2" bzw. "a²=2b²". Da es sich um positive Zahlen handelt und a² das Doppelte von b² ist, gilt "a>b>0". Außerdem muss a gerade sein, denn a² ist als Faktor von 2 gerade, und jede Wurzel einer geraden Zahl ist ebenfalls gerade; a ist also denkbar als Doppeltes einer ganzen Zahl c: "(2c)²=2b²" bzw. "4c²=2b²" bzw. "2c²=b²" bzw. "b²=2c²". Form bekannt? Dann fangen wir den Kreislauf von vorne an. Aus den bisherigen Bedingungen ergibt sich: "a>b>c>0". Wir können das Spiel weiterspielen und auf die eben gezeigte Weise aus "b²=2c²" "c²=2d²" herleiten, was dann "a>b>c>d>0" bedeutet, mit "d²=2e²" "a>b>c>d>e>0", mit "e²=2f²" "a>b>c>d>e>f>0" usw. usf., durchs ganze Alphabet und darüber hinaus bis ins Unendliche. Das hieße aber, dass es unendlich viele ganze Zahlen gäbe, die größer 0 und kleiner a bzw. b wären; a und b könnten so keine natürlichen Zahlen sein. Reductio ad absurdum gelungen!)
- "3.2 The real-number system":
- Die alten Griechen wollten alle Größen in ganzen Zahlen oder Brüchen derselben darstellen. Wurden die Größen kompliziert, waren es halt Brüche in Brüchen in Brüchen usw., sogenannte Kettenbrüche / "continued fractions". Diese Darstellungsweise ist unserem modernen Nachkomma-Dezimalsystem in seiner Denkform überlegen, aber nicht so schön einfach/platzsparend zeilenbasiert zu schreiben/zu drucken.
- "Irrationale" Zahlen lassen sich als unendliche Kettenbrüche denken. Hier zeigt sich die Überlegenheit des Kettenbruchsystems am Deutlichsten: Diverse irrationale Zahlen (sogenannte "quadratische irrationale Zahlen"; Pi fällt leider nicht darunter, die Wurzel aus 2 dagegen schon) gehen als Kettenbruch zwar ins Unendliche, das aber ganz elegant/komplexitätsauflösend periodisch; eine Regelmäßigkeit, die in ihrer Dezimalsystems-Darstellung nicht aufblitzt. Die quadratischen Irrationalen decken passenderweise viele der irrationalen Zahlen ab, die die euklidische Geometrie gebährt (vieles, was mit Wurzelziehen zu tun hat).
- Die alten Griechen kamen auf irrationale Zahlen durch Bezug auf die Größenverhältnisse der Geometrie und des physischen Raums. In der Moderne hat man sich um davon unabhängige Definitionen des Zahlenraums bemüht: Auf einer ungebrochenen Geraden anwachsender Größen bezeichnen die irrationalen Zahlen all jene Punkte, die nicht zu einer rationalen Zahl (einem Bruch ganzer Zahlen) aufgelöst werden können. In ihrer Gesamtheit, rationale wie irrationale Zahlen zusammenführend, umfasst diese Achse die Menge der "reellen" Zahlen.
- "3.3 Real numbers in the physical world":
- Die Kontinuität der reellen Zahlen in ihrer Ungebrochenheit und unendlichen Ausdehnbarkeit ins Große wie ins Kleine war ein Erfolgsrezept der Mathematik, konnte die vergleichsweise kleine Welt der alten Griechen gleichermaßen kartografieren wie unsere heutige, worin Entfernungen zu anderen Planeten genauso begrifflich erfasst werden wollen wie die Größen von Atomen.
- Ob die Unendlichkeit der Skala der physischen Welt angemessen ist, wissen wir aber noch nicht so genau, z.B. mit Blick auf den Mikrokosmos. Vielleicht gibt es ja doch kleinste Körnungen, über die hinaus Größendifferenzierungen vorzunehmen keinen Sinn mehr ergibt, nur noch Zeichen-Spiel mit dem Zahlen-Alphabet wäre.
- "3.4 Do natural numbers need the physical world?":
- Historisch entsteht unsere Zahlenwelt mit / abstrahiert sich von den natürlichen Zahlen; die abstrahieren sich historisch vom Zählen dessen, was gezählt werden kann. Für die alten Griechen beginnt die Zahlenwelt also in den positiven ganzen Zahlen, ausschließlich Null (was soll das sein? Wie soll ich mir "null" Äpfel vorstellen? Virtueller Blödsinn!). Penrose macht jetzt dem Leser Angst, indem er eine hypothetische Welt entwirft, in der es gar nichts Zählbares gäbe, weil es keine diskret voneinander getrennten Gegenstände oder keine greifbare Stabilität derselben gäbe. Würde man in einer solchen Welt trotzdem noch ein Konzept natürlicher Zahlen entwickeln können?
- Um zu beweisen, dass ja, pullt Penrose eine Art Descartes/CogitoErgoSum. Die bloße Idee des "set" ("Menge"?) reicht demnach, um das Zählen zu entwickeln: Fangen wir mit einer leeren Menge A an, können wir uns als nächstes eine Menge B denken, die allein diese Menge A enthält, dann eine Menge C, die A und B enthält, usw. usf., und schon haben wir etwas zum Zählen und damit zur Entwicklung eines Zahlensystems uns aufgebaut, ganz aus einer ungezählten Idee heraus! (Ein Philosoph könnte jetzt einwenden, dass die Idee der Menge überhaupt ein Konzept des Zählbaren erfordert, das ohne die Erfahrung des Zählens nicht ... Egal.)
- "3.5 Discrete numbers in the physical world":
- Na gut, natürliche Zahlen haben ihr Objekt im Zählbaren in der Welt. Aber was ist mit den übrigen ganzen Zahlen, mit der Null und den negativen Größen? Sicherlich enthält die Welt keinen Minus-Apfel! Aber, doch, so Penrose, es scheint Natur-Phänomene zu geben, für deren Handhabung die Erweiterung der Zahlenskala ins Negative Sinn macht, elektrische Ladungen zum Beispiel.
- Für die übrigen rationalen Zahlen, vulgo die Brüche, lassen sich schwerer Natur-Manifestationen finden; vielleicht irgendwo in der Quantenmechanik, mal sehen. Sehr viel mehr Natur-Vertraulichkeit verspricht Penrose dagegen für eine erst im nächsten Kapitel einzuführende, viel freakigere Zahlen-Art: die komplexe.
- (Aleks Scholz: http://lesemaschine.de/index.html?nr=20071104234921 )
- "4: Magical complex numbers":
- "4.1 The magic number 'i'":
- Wendet man die bisher gebauten Spielformen der Mathematik konsequent auf ihre eigenen Ergebnisse an, lassen sich noch weitere Zahlen bauen, die der bisherigen Zahlenkosmos eigentlich noch gar nicht hinreichend definiert hat (im Sinne von: Wo lassen sie sich als Größe verorten? Wie rechnet man mit ihnen? Taugen sie als Begriff für Phänomene der physischen Welt?). Die Wurzel aus -1 ist eine solches Beispiel: Das Quadrat jeder bisher bekannten positiven Zahl ist positiv, das Quadrat jeder bisher bekannten negativen Zahl ebenfalls. Das Quadrat welcher Zahl würde eine negative Zahl erzeugen?
- Wir ignorieren einfach mal, dass auf dem Größenstrahl der Reellen Zahlen es keine Zahl zu geben scheint, deren Quadrat negativ ausfällt; wir gehen dieser Schaurigkeit aus dem Weg, indem wir die Wurzel aus -1 erstmal ganz neutral "i" nennen, ohne zu fragen, was wir uns darunter vorzustellen haben. Erstaunlicherweise können wir nun sehr viele Berechnungen sinnvoll ausführen, ohne je dieses "i" aufzuklären; und wir können eine ganze Menge Zahlen bilden, in denen i Bestandteil ist, der Art "a + b*i". Offenbar reicht unser bisheriges Rechenwerk so weit, dass wir es auch für Größen fruchtbar machen können, die gar nicht im Bereich der Reellen Zahlen aufgehoben sind. Nette Formspielerei, aber werden wir eine solche "komplexe Zahl" je benötigen?
- Penrose behauptet, "Komplexe Zahlen" beeindruckten durch die viele mathematische Zauberei, die sie ermöglichen würden; und dass wir im 20. Jahrhundert Naturphänomene entdeckt hätten, die sich entlang der Regeln komplexer Zahlen zu verhalten scheinen.
- "4.2 Solving equations with complex numbers":
- Magie-Beispiel: Bestimmte Berechnungen, die bei reellen Zahlen anfangen und bei reellen Zahlen aufhören sollen, lassen sich lösen, wenn man zwischendrin komplexe Zahlen zulässt (die sich dann auf dem Weg wieder auskürzen).
- Spätestens hier höre ich auf, Penrose' Beispiel-Berechnungen nachzuvollziehen. Kapitulation; er meint, das sei auch nicht so schlimm. Na mal schauen. Vielleicht gelingt es mir ja, später wieder einzusteigen? Oder ich habe an dieser Stelle den Grundstein für meine Gesamtkapitulation vor dem Buch gelegt!
- "4.3 Convergence of power series":
- Potenzreihen. Penrose schreibt ein paar hin, z.B. "x^0+x^2+x^4+x^6+...". Manche konvergieren (nähern sich, je länger man sie verwirklicht, immer stärker einem einzigen bestimmbaren Wert an), manche divergieren (nähern sich nicht einem einzigen bestimmbaren Wert an), je nach Form und für x eingesetztem Wert. Es gibt Formeln, um für konvergente Reihen den Wert vorherzusagen, zu dem sie konvergieren; der Wert-für-x-Gültigkeitsbereich dieser Formeln ist in der Welt reeller Zahlen manchmal durch eine auf einem Graphen erkennbare Singularität begrenzt, manchmal nicht; wäre praktisch, wenn wir diesen Gültigkeitsbereich in jedem Fall durch eine solche Singularität erkennen könnten, denn über ihn hinaus scheinen besagte Formeln nur noch Nonsens auszuspucken. Seltsam alles!
- "4.4 Caspar Wessel's complex plane":
- Wir können ein Koordinatensystem für komplexe Zahlen uns ausdenken. Die Kontinuität der reellen Zahlen bildet hier die x-Achse. Die Kontinuität der Vielfachen von i bzw. der Wurzel von -1 bildet die y-Achse. Eine komplexe Zahl ist eine Koordinate aus einem reellen Wert der x-Achse und einem imaginären Wert der y-Achse. Die komplexe Zahl "5+7i" ließe sich hier als ein Punkt eintragen, dessen x-Koordinate dem reellen Zahlen-Anteil ("5") und dessen y-Koordinate dem imaginären Zahlen-Anteil ("7") entspricht. Das "i" kann ich mir als Einheit für den imaginären Anteil denken; da die y-Achse i als Einheit benutzt, brauch ich mir nicht über die Größe von i selbst einen Kopf zu machen, sondern nur über seinen vorangestellten Faktor.
- Verallgemeinern wir die vorhin angesprochenen Konvergenzwert-Bestimmungs-Formeln auf komplexe Zahlen, können wir im Koordinatensystem komplexer Zahlen jetzt auch für die Formeln Singularitäten finden, für die wir es vorher nicht konnten. Diese Singularitäten liegen nur halt nicht immer auf der x-Achse reeller Zahlen, sondern manchmal auch woanders im Koordinantensystem. Der Gültigkeitsbereich für die Formeln lässt sich ins Koordinatensystem als ein Kreis zeichnen, dessen Radius vom Nullpunkt zum erstbesten Singularitätspunkt reicht.
- Kurzum: Nutzen wir Komplexe statt nur Reelle Zahlen, kann nicht nur ein "x hoch [ungerade Zahl]" negativ werden, sondern auch ein "x hoch [gerade Zahl]". Ich sehe, dass sowas diverse neue mathematische Tore öffnen mag.
- "4.5 How to construct the Mandelbrot set":
- Das tolle Mandelbrot-Fraktal ist ebenfalls das Resultat von Zahlen-Spielen auf dem Koordinatensystem komplexer Zahlen als Zeichenbrett. Der Algorithmus ist gar nicht mal so kompliziert, ich kann ihn durchaus so halbwegs nachvollziehen.
- (Aleks Scholz: http://lesemaschine.de/index.html?nr=20071106011201 )
- "5: Geometry of logarithms, powers, and roots":
- ""5.1 Geometry of complex algebra":
- Gut, dass ich mir im vorhergehenden Kapitel nicht den Kopf zerbrochen habe über die Rechenformeln für Addition und Multiplikation komplexer Zahlen. Diese Vorgänge werden jetzt auf der eben eingeführten "complex plane" einfach geometrisch dargestellt -- als Verschiebungen, Rotationen und Dehnungen -- und ergeben so intuitiv Sinn. (GEFAHR! Wenn etwas hier in diesem Buch für mich intuitiv Sinn ergibt, habe ich meistens etwas falsch verstanden.)
- Ein paar Definitions- und Bezeichnungs-Arbeiten für den weiteren Umgang mit der "complex plane" werden geliefert. Sie wird zum Anlass genommen, um Trigonometrie einzuführen (Sinus, Kosinus und Tangens von Winkeln, erinnerste? Und natürlich auch die Umkehrfunktionen), und ich muss die entsprechenden Stellen zehnmal lesen bzw. einscannen und ins Internet stellen und im IRC mit Experten diskutieren, um sie nachzuvollziehen (mein Hauptfehler: anzunehmen, Penrose wolle bereits irgendwas erklären, anstatt es einfach nur zu definieren).
- Außerdem wird die Darstellung im Koordinatensystem umgebaut: Ab jetzt besteht jede komplexe Zahl aus einem modulus, der Distanz-Linie zum Nullpunkt in der "complex plane", und einer phase (oder: einem Argument), deren Winkel zur x-Achse der Reellen Zahlen. Hat eine Zahl also die phase Null, so ist sie eine Reelle Zahl, deren Größe gleich ihrem modulus ist.Komplexe Zahlen können jede beliebige phase haben; vertikal projiziert auf die x-Achse nimmt ihr Reell-Anteil ab, je näher die phase den modulus der y-Imaginär-Achse bringt. Eine phase von 90° bzw. Pi*0.5 oder 270° bzw. Pi*1.5 (oder 450° bzw. Pi*2.5 usw.) bedeutet einen Reell-Anteil von 0%25. Jedes ganzzahlige Vielfache von Pi (einschließlich Pi*0) als phase bedeutet einen Reell-Anteil von 100%25; wobei ein Winkel von Pi multipliziert mit Null oder einer geraden Zahl bedeutet, dass der modulus identisch ist mit der dargestellten Größe, ein Winkel von Pi multipliziert mit einer ungeraden Zahl dagegen, dass die dargestellte Größe das Negativ des modulus ist. All das folgt logisch daraus, dass eine phase von 90° einer Multiplikation mit i^1 entspricht (Wurzel aus -1), eine phase von 180° dagegen einer Multiplikation mit i^2 (Quadrat der Wurzel aus -1, also: -1), usw.
- "5.2 The idea of the complex logarithm":
- Komplexe Logarithmen sind ganz toll, weil ... Ach, was, ich soll kurz erklären, was Logarithmen sind? Ja, also, Potenzen von Zahlen, näch, und die können ja auch (für jede Erweiterung hatte ich im Schulunterricht für den Nachvollzug ein halbes Jahr und bei Penrose einen halben Satz, der oft über "und natürlich geht dann auch" nicht hinausgeht) miteinander soundso addiert und multipliziert werden und Bruch sein bzw. soundsovielte Wurzel und negativ bzw. reziprok und das kann man natürlich auf auf komplexe Zahlen erweitern wenn man negative Verwurzelungen zulässt, ach ja, wo war ich stehengeblieben? (Ich komme nicht umhin, mir das alles nochmal von Hand auf Papier durch diverse Beispiel-Berechnungen zu rekapitulieren.)
- Der Exponent einer Zahl ist eine ganz eigene Achse der Größen-Manipulation, die halt nicht mehr auf der gemütlichen Linie der (vielleicht multiplen) Addition/Subtraktion, sondern der wagemutigen Multiplikation/Division mit sich selbst verläuft. Was auf dieser Achse so harmlos wie Addition aussieht, ist in Wirklichkeit Multiplikation der Multiplikation; was wie Subtraktion aussieht, Division der Division. Eigentlich ziemlich weirde Erweiterung des Rechenspektrums, wenn man es sich mal durch den Kopf gehen lässt; kein Wunder, dass sich mir das nie so ganz intuitiv erschlossen hat, es führt schon ziemlich weit weg von der Gemütlichkeit des "ich packe mal drei Äpfel den zwei vorhandenen hinzu, dann habe ich fünf".
- Der Logarithmus schließlich ist einfach die Umkehrfunktion des Exponenten. Gib mir Basis-Zahl und das Ergebnis der Potenzierung, und ich spucke dir den dafür nötigen Exponenten aus.
- Logarithmieren ist die Sicht der Exponenten auf die Welt unter sich, aus einer Logik der Multiplikation statt der Addition heraus. Ein Exponent sieht, aus welchen Größen er welche anderen formt. Zwei solche Exponenten sehen, wie sie in additiver Kombination ihrer Kräfte ihre Vervielfachungs-Macht multiplizieren. Deshalb: "log(a)b + log(a)c = log(a)bc"
- Oder auch: Ein Logarithmus beschreibt das Selbstvervielfachungsverhältnis zwischen zwei Werten. (Sorry, ich definier mir das alles lieber fünfmal aus. Genau in diesen Bereichen lagen immer meine mir bekannten Schwächen in der Schulmathematik.)
- "5.3 Multiple valuedness, natural logarithms":
- Ich habe Wochen des Immer-Wieder-Neu-Lesens dieses Abschnitts und der vorhergehenden gebraucht, um hineinzukommen. Fuuuuu----...
- Einführung der Eulerschen Zahl "e" (2,718281...). Deren besondere Eigenschaft scheint zu sein, dass es eine Funktion e(x) gibt, die brauchbare Ergebnisse fürs Potenzieren der Eulerschen Zahl mit jedem beliebigen x liefern, also e^x ersetzen kann. @benni_b verrät mir auf Twitter: "e^x ist ihre eigene Ableitung. Das gibts sonst nicht."
- Ja, wir können auch komplexe Zahlen logarithmieren. Zumindest, wenn wir die Eulersche Zahl als Basis nehmen. Denn besagte Funktion e(x) spuckt für alle komplexen Zahlen Ergebnisse aus. Das Interessante: der Logarithmus einer komplexen Zahl hiernach erweist sich einfach als ein Produkt ihrer phase -- Winkelgröße mal i --, addiert dem Logarithmus einer reellen Zahl, ihres modulus. Der reelle Teil muss (und kann!) noch zuende logarithmiert werden; der imaginäre ist dagegen schon fertig logarithmiert. Deshalb, so Penrose, kann die phase einer komplexen Zahl als Logarithmus gesehen werden.
- Dass sich mit der Eulerschen Zahl als Basis komplexe Zahlen einfach logarithmieren lassen, führt (nach ein bissel Rumgerechne) zu einer neuen Darstellungsweise für komplexe Zahlen, die das ganze geometrische Gewusel in modulus und phase in der "complex plane" vereinfacht auf: modulus-Betrag mal (Eulersche Zahl hoch (i mal phase-Winkelzahl)). [Und zwar so: Aus dem Punkt eben wissen wir: Wenn w eine komplexe Zahl ist, dann gilt log(w)=log(r)+(i*Winkel). Ferner gilt, logarithmusdefinitionstechnisch: x=e^(log(x)). Daraus ergibt sich: w=e^(log(r)+i*Winkel). Wir wissen: x^(y+z)=x^y*x^z. Also: w=e^log(r)*e^(i*Winkel)=r*e^(i*Winkel).] Damit lässt sich auch gleich viel einfacher rechnen!
- Das Problem der "multiple valuedness": Es könnt ja durchaus mehrere mögliche Werte geben, um z.B. das y in y=e^x auszufüllen. Das wird locker wegdefiniert, indem man sich auf e(x) als Maßgabe für e^x verlässt, das für reelle Zahlen dann tatsächlich nur eine Lösung liefert. Bei komplexen Zahlen entsteht "multiple valuedness" dadurch, dass die phase sich ja beliebig oft um den Nullpunkt drehen kann; da aber eigentlich nur ein Kreis von 360°/2*Pi durchwandert wird, lässt sich alles auf diesen runterschrumpfen, indem man oft genug 2*Pi abzieht oder hinzufügt.
- Das Trigonometrie-Zeugs muss ich nicht verstehen, oder? [Zumindest die Herleitung der (Cotes-)Euler formula im Einheitskreis -- also mit r=1 -- ist aber easy, nach dem, was bisher definiert: Aus 5.1 wissen wir x=r*cos(Winkel) und y=r*sin(Winkel). Außerdem erinnern wir uns noch an die cartesische Darstellung einer komplexen Zahl: w=x+i*y. Ebenso als Darstellungsweise einer komplexen Zahl gilt ja jetzt neuerdings w=r*e^(i*Winkel). Da r=1, wird daraus w=e^(i*Winkel), und die Sinus- und Kosinus-Formeln verwandeln sich in x=1*cos(Winkel) bzw. y=1*sin(Winkel). Jetzt setzen wir das noch schön alles in die cartesische Darstellung der komplexen Zahl ein und erhalten: e^(i*Winkel)=cos(Winkel)+(i*sin(Winkel)). Aus der Verwandlung von Addition in Multiplikation und vice versa ergeben sich dann die weiteren Sinus-und-Kosinus-Rechenregeln, die Penrose drunter schreibt. Er hat recht: Mit Eiheitskreis, Eulerscher Zahl und komplexen Zahlen lassen sich diese Regeln einfach herleiten.]
- "5.4 Complex Powers":
- Jetzt werden offenbar noch die komplizierteren Randfälle zum eben Gebastelten erörtert (es war alles doch nicht so, HAHAHA, "einfach", wie es eben noch schien!).
Ich schalte ab. Ich kann nicht mehr. Ich bekomme nur noch mit, dass i^i erstaunlicherweise eine reelle Zahl ausspuckt und sich sogar mit etwas Mühe nachvollziehbar berechnen ließe. Der Rest ... Ach, ich folge jetzt doch mal dem Ratschlag von @dalcashdvinsky und überspringe einfach tapfer. Penrose kann nicht ernsthaft erwarten, dass ein greifbarer Prozentsatz an Laienlesern hier noch mitkommt. Bestimmt, bestimmt wird es wieder besser!
- Also. Jedes x lässt sich umstellen auf e^(log x). Ist x eine komplexe Zahl, müssen wir aber noch die möglichen imaginären Anteile dazu rechnen, z.B. (harmloses Beispiel) so: e^(log x + i*0). Jeder imaginäre Anteil hat aber unendlich viele Phasen, d.h. unendlich viele Ganzzahl-Vielfache von 2*pi, mit denen er multipliziert sein kann: e^(log x + i*2*pi), e^(log x + i*4*pi), e^(log x + i*-2*pi) usw. Es gibt Fälle, da ist diese Vielfalt möglicher Lösungen egal. Es gibt Fälle, da erzeugt sie viel Neues. i^i ist wohl so ein Beispiel, was je nach festgelegter Phase des Imaginär-Anteils eine ganze Vielfalt an reellen Zahlen sein kann.
- Und plötzlich können wir aus e(x) auch wieder die Mehrdeutigkeiten zaubern, die wir eigentlich erwarten, wenn wir z.B. eine Zahl durch den Exponenten 1/2 quadratwurzeln: dass die Wurzel aus 4 nicht nur 2, sondern auch -2 sei. Ein x wäre ja dann e^(log x) und ein x^1/2 wäre demnach e^((log x) / 2). Überführt in komplexe Zahlen bleiben da jetzt als verschiedene Möglichkeiten z.B. e^((0*2pi*i + log x) / 2)=e^((log x) / 2) und genauso e^((1*2pi*i + log x) / 2)=e^(pi*i) * e^(log x / 2)=-1*e(log x / 2) (denn laut Euler e^(pi*i)=-1). So wie für x^1/2 lässt sich das Spiel auch für x^1/3, x^1/4 usw., mithin für alle ganzzahligen Wurzeln spielen, zu denen es dann jeweils viele Lösungen durch alle Phasen hinweg geben kann.
- KURZUM: Erst in der Welt der komplexen Zahlen kann e(x) tatsächlich die uns in der Schule beigebrachten Regeln des Potenzierens und Logarithmierens mit sämtlichen über diese erwartbaren Ergebnissen für e^x nachbilden; und noch vielen Ergebnissen mehr!
- Wir brauchen in der Form x^(y/z) z ja gar nicht auf ganze Zahlen zu beschränken. Wir können auch hier komplexe Zahlen einsetzen.
- Anderes Spiel: Was ist die Quadratwurzel aus 1? Nun, 1*1=1, also erscheint 1 als eine naheliegende Antwort. Die Quadratwurzel von 1 ließe sich aber auch schreiben als "e^((log 1) / 2) = 1" und in der Welt der komplexen Zahlen als "e^((2pi*i + log 1) / 2)) = e^(pi*i) * e^((log 1) / 2) = -1 * e^0 = -1". Wie sieht's mit der dritten Wurzel aus? "e^((log 1) / 3) = 1" gilt ebenso wie "e^((2pi*i + log 1) / 3)) = e^(2/3*pi*i) * e^((log 1) / 3) = 120°i * e^0 =120°i" wie "e^((4pi*i + log 1) / 3)) = 240°i"; drei Lösungen, nach denen "e^((6pi*i + log 1) / 3)) = 360°i = 1" wieder zurück zum Anfang führt. Dementsprechend lassen sich für jede n-te Wurzel von 1, mit n als ganzer Zahl, n komplexzahlige Lösungen finden, die mit gleichem Abstand untereinander auf dem Einheitskreis der "complex plane" liegen. Multipliziert oder dividiert man diese miteinander, kommt stets etwas mit dem gleichen modulus des Abstands 1 zum Nullpunkt heraus sowie der Phase eines der jeweils anderen n Werte.
- "5.5 Some relations to modern particle physics":
- So in etwa wie diese komplexen n-ten Wurzeln aus 1 scheinen sich auch diverse kleinste Teilchen der Physik in ihren Größen zueinander zu verhalten; d.h. hier mit man es beim Miteinander-Multiplizieren mit denselben Gesetzmäßigkeiten zu tun der Vorzeichen-Änderungen, des Wieder-zur-Originalgröße-Zurückkehrens nach soundsoviel Umdrehungen, des "x * x = 1" während "x² * x² = x" usw. Solche Verrücktheiten aus der Quanten-Welt klängen in der Grundschul-Arithmetik absurd, ergeben in der Arithmetik komplexer Zahlen aber plötzlich wieder Sinn -- den im Hintergrund werkelnden imaginären Anteilen bzw. der Wurzel aus -1 sei dank.
- (Aleks Scholz: http://lesemaschine.de/index.html?nr=20071107110446 )
- "6: Real Number Calculus":
- "6.1 What makes an honest function?":
- Whoa. Verschnaufspause. Zurück hinter die gymnasiale Oberstufe. Einführung: Was sind Funktionen? Ein paar einfache Beispiel-Graphen. Wobei wir uns Funktionen zu einem einfachen Mapping einer domain von Zahlen auf ein target von Zahlen abstrahieren: eine bloße Übersetzungsliste würde also auch schon reichen, es braucht gar keine ambitionierte Formel wie z.B. y=x²+7x.
- Differenzierung schaut auf das Verhalten eines engen Ausschnitts. Integration schaut auf das Verhalten des Ganzen.
- f(x)=|x| ist offenbar eine unehrliche Funktion, weil "x=y, wenn x positiv, und x=-y, wenn x negativ" als Mogelei empfunden wird in seinem "wenn, dann". Daraus resultiert sicher auch die merkwürdige Kante in ihrem Graphen!
- "6.2 Slopes of functions":
- Major Verwirrung in den nächsten Abschnitten beginnt hier für mich, deren Behebung einige Anläufe brauchen wird: Penrose setzt den Anstieg an einem Punkt der Funktion im x-y-Koordinatensystem als dy/dx, wobei d steht für "Zuwachs in einem möglichst engen Bereich auf dieser Achse". Soweit, so gut. Später wird es für mich aber immer verwirrender werden, BuchstabeBuchstabe als Teil der Formeln zu lesen, weil ich mir ständig denke: d * x, d * y. Nachträglich muss ich mich dafür ohrfeigen, nicht den Unterschied zwischen kursiven und unkursiven Buchstaben in Penroses Notation stärker gewichtet zu haben. Nur kursive Buchstaben sind Variablen. Vielleicht sollte ich es mir im Kopf einfach schreiben als d(y)/d(x).
- Eine Funktion ist kontinuierlich/stetig, wenn ihr Graph keine Brüche hat. Sie ist smooth (geschmeidig?), wo an ihrem Graphen eindeutig eine Steigung gemessen werden kann: Dort ist sie differenzierbar. Eine curvature hat sie, gekurvt also ist sie, an den Punkten, wo sie doppelt differenzierbar ist.
- "6.3 Higher derivatives; C[unendlich]-smooth functions":
- Ableitungen von Ableitungen. Was uns die Stellen sagen, wo Ableitungen einer Funktion die x-Achse schneiden: Hier (1. Ableitung) ist ein lokales Maximum/Minumum (Anstieg=Abstieg=0). Hier (2. Ableitung) endet die Biegung/curvature (das Wachstum eines Anstiegs/Abstiegs erreicht Null), vielleicht um sich zu verkehren.
- Eine Funktion ist "C[n]-smooth", wenn sie n Mal differenzierbar und in der n-ten Ableitung auch immer noch kontinuierlich ist.
- Ständig eruiert Penrose, welche Funktionen Euler gefallen hätten und welche nicht. Euler mag durchgängige Geschmeidigkeit bis in die letzte Ableitung und mag es nicht, wenn sich mal kurz die Formel mitten in der domain ändert. Aber warum sollte uns interessieren, was Euler mag?
- "6.4 The 'Eulerian' notion of a function?":
- Auch wenn noch nicht ganz klar ist, wozu es denn jetzt gut sein soll, dass olle Euler eine Funktion gut fände, so kommen wir doch zumindest in der Frage weiter, was genau Eulers Kriterium wäre: Die Funktion müsse analytisch sein.
- Was heißt das, "analytisch"? Lässt sich eine Funktion als Potenzreihe darstellen, dann kann man offenbar alle Koeffizienten derselben herausbekommen, indem man ... Also, ich will Koeffizent n wissen. Dann frage ich einfach nach dem Wert der n-ten Ableitung der Funktion an einem bestimmten Punkt (x=0) und teile ihn durch Fakultät/factorial n!. Dieser Trick nennt sich wohl Maclaurin's series. Anders formuliert: Eine Funktion f(x) ist an dem x analytisch, bei dessen Durchschreitung durch sämtliche Ableitungen ich all die Koeffizienten ihrer Potenzreihe herausbekommen kann. Ist eine Funktion an jedem Punkt analytisch, also insgesamt analytisch, dann ist sie definiert als C[Omega]-smooth.
- "6.5 The rules of differentiation":
- Die Ableitung von x³ ist 3x². Die Ableitung von x^n ist n*x^(n-1). Nun wissen wir von weiter oben, dass die Ableitung einer Funktion f(x) der Quotient -- in einer x-y-Koordinatensystem-Darstellung -- aus ihrem y-Zuwachs durch ihren x-Zuwachs an einer Stelle ist, darstellbar als d(y)/d(x). Wir könnten also auch schreiben: d(x^n)/d(x)=x^(n-1). Dann können wir das aber auch umstellen auf d(x^n)=x^(n-1)*d(x).
- Mit dieser handy (naja) Formel kann man angeblich alles differenzieren, was differenzieren ist und für das man eine Formel hat. Penrose stellt noch ein paar weitere Regeln vor, die sich sicher auch irgendwie kompliziert davon ableiten lassen, z.B. dass die Summe der zweier Ableitungen zweier Funktionen gleich der Ableitung der Summe dieser Funktionen sei -- d(f(x)+g(x))=d(f(x))+d(g(x)) --; und dass die Ableitung einer Funktion mal Konstante gleich dem Faktor der Konstanten mit der Ableitung besagter Funktion sei -- d(a*f(x))=a*d(f(x)).
- "6.6 Integration":
- Schauen wir uns der Funktion f(x) Ableitung f'(x) an. Schauen wir uns beider Graphen an. Schauen wir uns bei beiden den Ausschnitt zwischen zwei Werten x=a und x=b an. Dann stellen wir fest: Die Fläche unter f'(x) zwischen f'(a) und f'(b) zur x-Achse verhält sich irgendwie (das hab ich nicht so ganz verstanden) proportional zur Fläche unter f(x) zwischen f(a) und f(b) zu einer x-Achsen-Parallele, die (das hab ich nicht so ganz verstanden) f(a) oder f(b) berührt. Den Beweis hab ich nur so halb verstanden.
- Das Wesentliche daran: Die Fläche unter f'(x) ändert sich genausowenig wie f'(x) selbst, wenn man den Graphen von f(x) höher oder tiefer schiebt. f'(x)=3x² könnte also die Ableitung sein von f(x)=x³, f(x)=1+x³, f(x)=-3+x³ usw. Wir können zu f'(x) nicht eindeutig ein Integral f(x) finden.
- Penrose führt ein erstes gruselig vielzeiliges Symbol ein: das Integral. Das sieht ein bisschen aus wie ein ausgemagertes, angeschrägtes S. D.h. S(f'(x))=f(x). Ich werde künftig einfach Integral() schreiben. Man kann noch unten und oben am S zwei Variablen a und b anbringen, die bestimmen, für welchen Bereich der Funktion das Integral gebildet werden solle.
- Das Schlimme am Integrieren: Es gibt hierfür keine so einfachen Formeln wie fürs Differenzieren. Penrose leitet aus Bekanntem einige Formeln für sehr eingeschränkte Bereiche her, die schon kompliziert genug sind; die eine gute Lösung für alles scheint zu fehlen. Integral(f(x))=?
- Wir können vielleicht nicht so leicht Integrale bilden, aber wir können uns sicher sein, dass sie existieren: Jede Funktion, egal wie stetig oder smooth, ist als simples Mapping Domäne->Zielbereich denkbar und damit als Ableitung eines anderen solchen Mappings -- auch wenn wir zu diesem vielleicht nicht so leicht die Formel finden. Wir können also jede Funktion g(x) als f'(x) oder f(x) oder f'(x) usw. denken. Wir können vielleicht nicht jedes f(x) unendlich oft differenzieren, aber wir können jedes f(x) unendlich oft integrieren.
- Remember: Eine Funktion, die C[5]-smooth ist, kann fünf Mal differenziert werden. Eine, die C[1]--smooth ist, kann nur einmal differenziert werden. Eine Funktion, die C[0]--smooth ist, kann gar nicht differenziert werden. Sie würde aber immer noch als Integral einer C[1]-Funktion taugen. Penrose deutet jetzt einen radikalen weiteren Schritt an: Warum sollte es zu einer C[0]-Funktion keine C[-1]-Funktion geben? Dann müssten wir halt zweimal integrieren, um zu einer sauberen, differenzierbaren C[1]-Funktion zu gelangen. Und wo eine C[-1]-Funktion möglich ist, da wären auch C[-2], C[-3] usw. möglich.
- (Aleks Scholz: http://lesemaschine.de/index.html?nr=20071109110653 )